4.1: concepto del incremento y razón de cambio. la derivada de una función.
Derivada de una función en un punto. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I, se define la derivada en el punto “a” como:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, y la definición nos queda de la siguiente forma:
Función derivada. Dada la función f(x) continúa en el intervalo abierto I denominamos función derivada a:
Sí en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo sustituimos por Δx tenemos que la definición queda:
4.2-La interpretación geométrica de la derivada.
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a cero, es decir, la derivada del espacio respecto al tiempo.
Ejemplo
La relación entre la distancia recorrida en metros por un móvil y el tiempo en segundos es e(t) = 6t2. Calcular:
1 la velocidad media entre t = 1 y t = 4.
La velocidad media es el cociente incremental en el intervalo [1, 4].
2 La velocidad instantánea en t = 1.
La velocidad instantánea es la derivada en t = 1.
¿Cuál es la velocidad que lleva un vehículo se mueve según la ecuación e(t) = 2 − 3t2 en el quinto segundo de su recorrido? El espacio se mide en metros y el tiempo en segundos.
Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la función p(t) = 5000 + 100t² , siendo t el tiempo metido en horas. Se pide:
1. La velocidad media de crecimiento.
2. La velocidad instantánea de crecimiento.
3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.
4.3-consepto de diferencia, interpretacion geometrica de los diferenciales.
Si f'(x) es la derivada de f(x) para un valor particular de x, y ∆x es un incremento de x, arbitrariamente elegido, la diferencial de f(x), que se representa por el símbolo df(x) , se define por la igualdad.
4.4-propiedades de la derivada.
Las derivadas forman una parte importante del cálculo.
Hablando en términos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variación de la salida de una función así como varía la entrada de la función.
En base a la definición anterior está claro que la salida de la función es una función de la entrada de la función.
Las derivadas tienen algunas propiedades especiales que son importantes estudiar antes de saltar de lleno en el tema.
Puesto que estas propiedades resuelven los problemas de una manera mejor y más conveniente, con un mejor enfoque hacia el tema.
Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:
1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.
2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.
3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.
4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.
5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.
6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.
7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.
8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.
9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,
h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)
Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,
La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,
d(5x4)/dx = 5[d(x4)/dx]
= 5(4x4−1)
= 5(4x3)
= 204
4.5-Regla de la cadena.
Una función compuesta es una función que implica la imposición de una función a otra función. Sea f(x) una función que es diferenciable sea g(x) cualquier otra función que también es diferenciable.
Entonces, al imponer f(x) a g(x) se produce una nueva función h(x), la cual es una combinación de las dos funciones diferenciables.
h(x) = f(x) 0 g(x)
Considere una función, para la cual debe encontrar la derivada, y(x) = (x2 + 4x +5)
Sería bastante fácil de encontrar.
Pero si fuese encontrar la derivada de una función como la siguiente, y(x) = (x3 + 4x +5)60 entonces sería un problema, a pesar de que sus derivadas pueden ser despejadas, pero si existiera una regla que hiciera el problema fácil de resolver entonces habría sido mucho más simple.
Para resolver este problema de encontrar las derivadas de una función compuesta, Leibniz introdujo la regla de la cadena, que tenía la intención de encontrar la derivada de funciones compuestas.
De acuerdo con la regla de la cadena, las derivadas pueden ser consideradas como fracciones a fin de resolver el problema como,
Así que la regla de la cadena para la diferenciación de una función compuesta es la siguiente,
Vamos a tratar primero de resolver el ejemplo que se ilustra arriba sin la regla de la cadena y después utilizando la regla de la cadena para entender la diferencia entre ambos métodos.
d (x2 + 4x +5)2 / dx
= d(x4+ 8x32 + 26x2 + 40x +25) /dx
= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40
La solución anterior fue realizada sin utilizar la regla de la cadena.
Ahora intentemos solucionarla con la regla de la cadena,
d(x2 + 4x +5)2/ dx
= 2(x2 + 4x +5) * (2x + 4)
= 4x3 + 24 x2 + 52x + 40
Como se puede observar se obtiene la misma respuesta, pero requiere un esfuerzo mucho menor debido a la reducción del cálculo envuelto en el enfoque convencional.
Una función valorada real que tiene sólo una variable es la forma más fácil de la regla de la cadena, la cual establece que f(x) es una función que puede ser diferenciada en un punto a y sea g(x) cualquier otra función que puede ser diferenciada a f(a).
Bajo esta situación de f(x) 0 g(x) es una función compuesta que puede ser diferenciada en a.
En los lugares donde las derivadas se calculan directamente, es decir, donde no existe una fórmula directa para el cálculo de derivadas, la regla de la cadena se puede aplicar con el propósito de hacer un cálculo fácil.
La regla de la cadena puede aplicarse convenientemente a una función compuesta donde muchas funciones se imponen sobre otras.
Supongamos que f(x), g(x) y h(x) son tres funciones diferenciables y una función compuesta a partir de ellas es F(x) = f(x) 0 g(x) 0 h(x) tomadas en el mismo el orden.
En tal situación, la regla de la cadena se puede aplicar primero calculando las derivadas de f(x) y g (x) 0 h (x) y luego para g(x) y h(x) y, por último, se combinan los resultados. Esto se denomina cascada de la regla de la cadena para funciones compuestas con múltiples funciones.
4.6-Formulas de derivacion y formulas de diferenciacion.
Para funciones más simples, el trabajo de calcular la derivada de una función se puede realizar simplemente usando la definición de derivada. Pero si se da una función compleja, ahora es que vale la pena utilizar la definición de la derivada para el cálculo de las derivadas de la función, dado que si no lo hacemos requeriría muchos cálculos. Con el fin de reducir los cálculos involucrados en el proceso se han introducido una serie de fórmulas de diferenciación.
Junto con las fórmulas se han introducido una serie de propiedades que pueden ser usadas directamente. Algunas fórmulas de diferenciación importantes son,
1 Fórmula de Diferenciación General
, en esta fórmula, c es un valor constante.
, esta es la regla de la potencia de la diferenciación. En esta fórmula, n debe ser exclusivamente un número real.
, lo que significa que cuando un número es diferenciado con respecto a sí mismo producirá uno como resultado.2 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Logarítmicas
, lo que significa que la diferenciación del logaritmo natural de un número con el mismo número producirá la inversa del número como resultado.
, esta ecuación explica que la diferenciación de un logaritmo natural de la función con respecto a la variable de entrada producirá el inverso de la multiplicación de la función con la derivada de la función como salida.
, esta ecuación explica que la diferenciación del logaritmo de una variable con respecto a su variable de entrada dará el inverso de la multiplicación del número con el logaritmo natural del número.3 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales
, esta fórmula de diferenciación es interesante dado que establece; la diferenciación del exponente de una variable producirá el exponente de la variable como salida.
, esta regla establece que la diferenciación del exponente de una función producirá la multiplicación del exponente de la función con la derivada de la función como salida.
, esta regla establece que la diferenciación de una constante elevada a la potencia de una variable producirá la multiplicación de la constante elevada a la potencia de la misma variable con el logaritmo natural de la constante.4 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales
Las fórmulas mostradas anteriormente se explican por sí mismas y no necesitan ninguna otra explicación.
Todas estas fórmulas de diferenciación también derivan de la definición básica de diferenciación para facilitar el trabajo y reducir la parte de cálculo. Para tener una mejor comprensión del tema, observe el ejemplo que se ilustra a continuación,
Probar que d(arctan x)/ dx = 1/ (1 + x2) es verdadera.
En la ecuación anterior y = arctan x. esto implica que y = tan x. Ahora sustituyendo en la ecuación dada.
d (tan y)/ dx = (1/ cos2x) dy/ dx
(1/ cos2x) dy/ dx = 1
dy/ dx = cos2 x
dy/dx = 1/ (1 + x2)
Vamos ahora a despejar la regla lineal de la diferenciación de la fórmula de diferenciación,
(f(x) + g(x))’ = limh0, (f(x + h) + g(x + h) – (f(x) + g(x)))/ h = limh0 ,(f(x + h) – f(x) + g(x + h) – g(x))/ h = limh0 ,(f(x + h) – f(x))/ h + limh0 ,(g(x + h) – g(x))/ h = f’(x) + g’(x)
De una manera similar todas las fórmulas diferenciales se pueden despejar de la fórmula básica para la diferenciación.
4.7-derivadas de orden superior, regla de L`Hopital.
La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,
La derivada de segundo orden de una función se representa como,
La derivada de tercer orden de una función se representa como,
Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.
La derivada de segundo orden de una función f(x), que es todavía más diferenciable,
No es posible obtener una derivada de orden superior de la función si la derivada actual de la función no es diferenciable. Para aclarar el concepto de las derivadas de orden superior eche un vistazo al ejemplo citado a continuación. f(x) = 4×3 + 9×2 – 3x + 4 La derivada de primer orden de esta función será,
f’(x) = 12×2 +18x – 3
Por la derivada anterior ser diferenciable es posible al diferenciarla nuevamente obtener la derivada de segundo orden de la función como, f’’(x) = f’(f’(x)) = 24x + 18
Al analizar la derivada de la función anterior se puede ver que esta puede ser aún más diferenciada. Por lo tanto la derivada de tercer orden de la función será,
f’’’(x) = f‘(f’(f’(x))) = 24
Ahora la derivada de cuarto orden de la función se obtiene,
f’’’(x) = f’(f‘(f’(f’(x)))) = 0
Como se puede observar ya no es posible diferenciar la función por más tiempo, por lo tanto detenemos el proceso de diferenciación aquí.
El ejemplo anterior también arroja luz sobre un hecho muy interesante, que es, si f(x) es un polinomio con n como el más alto grado entonces la derivada de mayor orden de tal función será n +1. Una diferencia muy interesante y diminuta entre la notación convencional de la potenciación y la diferenciación se explica más adelante,
f(2)(x)= f’’(x) f2(x) = [f(x)]2
Esta es, la presencia de paréntesis en el exponente denota una operación de diferenciación, mientras que su presencia en sí denota la operación de exponenciación.
La regla de L’Hôspital, también llamada regla de Bernoulli es una parte muy importante del cálculo. Se utiliza principalmente para encontrar las salidas de los límites cuando los límites son de forma intermedia; se utiliza principalmente para las derivadas de las funciones.
Esta regla se utiliza para transformar los límites intermedios en una forma determinada y por tanto, obtener la salida más conveniente.
La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si
, además
es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,
4.8.-derivadas de función implícita.
Las funciones se pueden clasificar en dos categorías generales, funciones implícitas y funciones explícitas.
Una función se denomina implícita cuando su salida no está definida en términos de su entrada, explícitamente.
Las funciones algebraicas y las funciones inversas corresponden a la categoría de funciones implícitas.
Una función que se define implícitamente puede ser diferenciada con la ayuda de una regla de la cadena, denominada diferenciación implícita.
La mejor forma de diferenciar una función implícita es diferenciando cada lado de la ecuación de la función explícitamente.
Mientras se hace esto, es esencial tener en mente que la variable dependiente de la función debe ser tratada como la variable independiente de la función; y sencillamente aplicar las reglas de diferenciación normal incluyendo todas las propiedades y las reglas de diferenciación.
Finalmente resolver para cada derivada.
Para tener una mejor comprensión, tomemos un vistazo el ejemplo dado a continuación,
Diferenciar la ecuación tal como lo hacemos para una función explícita,
= d(4x – y)/ dx = 0
= 4 – dy/ dx = 0
= dy/ dx = 4
Los pasos para la diferenciación de una función implícita se indican a continuación:
1. Diferencie la ecuación implícita con respecto a x tal como lo hace para una función explícita. Si la ecuación contiene términos de y o cualquier otra variable elevada a la potencia de y, entonces primero multiplique la ecuación con dy / dx.
2. Mueva los términos con dy / dx como sus coeficientes a un lado de la ecuación y el resto de los términos hacia el otro lado de la ecuación.
3. Ahora, extraiga el valor de dy / dx y resolverlo.
El método explicado más arriba es el método de diferenciación implícita para resolver una función implícita.
Hay una forma más de resolver una función implícita, llamada diferenciación directa.
Bajo el método explicado anteriormente, el primer paso es escoger la variable que se considerará como variable dependiente y la variable que se considerará como variable independiente.
Suponga que y es la variable dependiente para la función dada, luego se resuelve para y con respecto a x, que es la variable independiente de la función.
Bajo el método de diferenciación directa, sólo resuelva para la variable dependiente al mover los términos contenidos en la variable dependiente hacia un lado y la variable independiente hacia el otro lado y realizando la diferenciación con respecto a la variable independiente.
Bajo el método de diferenciación directa, generalmente la variable dependiente se da de manera explícita y no de forma escogida.
Considere un ejemplo de una ecuación resuelta mediante el método de diferenciación directa,
4X2 + 5X – y + 2 = 0
Moviendo los términos que contiene y hacia un lado de la ecuación, que es la variable dependiente de la ecuación,
4X2 + 5X + 2 = y Ahora diferenciando la ecuación obtenemos,
dy / dx = 8x + 5, que es la respuesta necesaria.
La obtención de las derivadas parciales para un sistema de ecuaciones de funciones implícitas también muy fácil.
Para esto, seleccione cualquiera de las variables de la ecuación y vea esta variable como función de las variables restantes en la ecuación.
Sea una función implícita definida en términos de tres variables x,y, z como,
Entonces la derivada parcial de tal ecuación se puede derivar como,
Bibliografías:
http://mitecnologico.com/igestion/Main/DerivadaDeFuncionesImplicitas#sthash.Qy7rP6AN.dpuf
