calculo diferencial: Unidad 3 limites y continidad

3.1: limite de una sucesión 

una sucesión  es  un par relacionado por el dominio de los números naturales  y el contradominio de la función que relaciona.

un limite es un concepto  que describe la tendencia de una sucesión o función.

el limite de una sucesión es el numero  al cual se va aproximando los términos de una sucesión.

sn= n+1= (1,2),(2,3), (3,4)..... el limite es 1

¿cual es limite de la sucesion 2/n cuando n tiende a infinito?

infinito porque n es el limite

3.2:  límite de una función de variable real.

Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R

.Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

Considérese la función definida por: y= f(x) = 2x²-x-1/x-1 ; x 1 el único punto en el cual f(x) no está definida es en x = 1, pero, en puntos tan cercanos a 1 como se quiera, la función se encuentra definida. Esta situación da lugar a la siguiente pregunta: ¿Se aproxima f(x) a algún valor específico, cuando x se aproxima a 1?

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda (valores menores que 1) y por la derecha de 1 (valores mayores que 1).

a medida que los valores de x, se “acercan” a 1, sin tomar el valor de 1, los valores de f(x) se “acercan” a 3. Dándole a la palabra límite un significado intuitivo, se dice que:

El “límite” de la función f(x) es 3 cuando x tiende a 1. La afirmación anterior frecuentemente se expresa simbólicamente por cualquiera de las formas:

F (x) =3 cuando x–>1 (se lee: f(x) tiende a 3 cuando x tiende a 1).

O también, Lim f (x)=3 ; x–>1 (se lee: límite cuando x tiende a 1 de f(x) es 3). De una manera más general, pero conservando el significado intuitivo de la palabra “límite”, se dice que:

Lim f(x) = L; x–>a, si se puede hacer que f(x) este tan “cerca” de L como se quiera, haciendo que x este suficientemente “cerca” de a, pero siendo distinta de a.

Límite.

Es cuando “X” se aproxima mucho a un valor sin ser el propio valor.

Ejemplos:
lim x+3/x-4 = lim (1)+3/(1)-4 = 4/-3 = – 4/3

x —- 1
lim x+3/ x-2 = lim (2)+3/(2)-2 = 5/0 = infinito

x—-2
lim cos x= cos (0) = 1

x—–0

3.3: calculo de limites.

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas, etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:



Es decir: Para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.







No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por tanto no puede tomar valores que se acerquen a -2

3.4: propiedades de los límites.

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

3.5: límites laterales.

Para que exista el límite de una función, deben existir los límites laterales y coincidir.

El significado de los signos en la notación para límites laterales se interpreta de la siguiente manera
x - a - significa que x tiende a a tomando valores menores que a, es decir valores que se encuentran a su izquierda.
x - a+ significa que x tiende a a tomando valores mayores que a, es decir valores que se encuentran a su derecha.

3.6: limites infinitos y limites al infinito.

Decimos que lim f(x)= si para los valores de x próximos a, x→ a los valores de f(x) pueden hacerse tan grandes como queramos.

Con rigor, decimos que lim f(x)= si fijado a un valor k positivo y tan grande como se quisiera, existe un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entoces f(x)>k.

Análogamente, lim f(x) = –
x→a

si para los valores de x cercanos a a, los valores de f(x) se pueden hacer tan pequeños como queramos.

Diremos que lim f(x) = –
x→a

si fijado un valor de k positivo y tan grande como se quisiera, podemos encontrar un entorno de a, E(a, ∂), tal que si x ∈ E (a,∂ ) y x ≠ a, entonces f(x) < -k

•Ejemplo:

la función f(x)= 1/|x|

En el punto x=0 se tiene:

lim 1/|x| = –
x→ 0-
→ lim 1/|x| =
x→0

lim 1/|x| =
x→a’

cuando el dominio de y= f(x) se extiende indefinidamente hacia la derecha o hacia la izquierda de la recta real tienen sentido las expresiones:

• lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente grande”, los valores de f(x) se acercan a L.
x→

•lim f(x) = L si “haciendo x arbitrariamente pequeña, los valores de f(x) se acercan a L.
x→

3.7: Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va acercando indefinidamente. Hay tres tipos de asintotas:
Asíntotas horizontales


Ejemplo

Calcular las asíntotas horizontales de la función:




Asíntotas verticales



Consideramos que el resultado del límite es ∞ si tenemos un número real partido por cero.

que son los puntos que no pertenecen al dominio de la función (en las funciones racionales).
Ejemplo

Calcular las asíntotas verticales de la función:

3.8: funciones continuas y discontinuas en un punto.

una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.

FUNCIÒN CONTINUA EN UN PUNTO

El análisis de la diferencia de continuidad nos demuestra que para ser continua en el punto A una función debe satisfacer los siguientes puntos:
la función f debe estar definida en la A de modo que f(A) exista.
debe existir el limite f(x) cuando X tiende a “A”
los números de las condiciones 1,2 deben ser iguales.

3.9: tipos de discontinuidad.

Existen diferentes Tipos de Funciones Discontinuas tales como:

1.Discontinuidad evitable.

Una función tiene una discontinuidad evitable, en un punto a, si existe límite de la función en el punto, a, pero o no coincide con el valor de la función, f(a), o a no pertenece al dominio de f. Es decir, verifica 2ª pero no se cumple 1º o 3ª.

Ejemplo. La función es discontinua en x =3, pues la función no existe en 3, pero sí existe el límite en ese punto (comprobarlo) por lo tanto la discontinuidad es evitable



2.Discontinuidad inevitable o de primera especie.

Si existen los límites laterales en un punto, pero no coinciden, la discontinuidad se llama de salto. El salto (finito) es la diferencia entre estos valores (en valor absoluto). Cuando uno de los límites laterales de infinito se trata de una discontinuidad de salto infinito.

Ejemplo. a) la función signo en x = 0 presenta una discontinuidad de salto 2, pues



y el salto es 1-(-1)=2.

b) La función f(x) = 1/x es discontinua en 0 de salto infinito.








3.Discontinuidad esencial o de segunda especie.

Si no existe alguno de los límites laterales la discontinuidad se dice de 2ª especie, o esencial.

Ejemplo. tiene una discontinuidad esencial en 0.




es decir no existen ni los límites laterales pues “oscilan entre 1 y -1”

bibliografías:

www.vadenumeros.es › 1º Bachillerato

www.sangakoo.com/