calculo diferencial: UNIDAD 2: FUNCIONES

2.1.-CONSEPTO DE VARIABLE, FUNCION, DOMINIO, CODOMINIO,Y RECORRIDO DE UNA FUNCION.

Funcion: en matematicas, una funcion (f) es una relacion entre un conjunto dado x (llamado dominio) y oro conjuto de elementos Y (llamados codominio) de forma que cada elemento X del dominio le corresponde un unico elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, tambien llamado rango o ambito).

Dominio: se llama dominio de difinicionde una funcion (f), y se designa por dom f, al conjunto de valores de X para los cuales existe una funcion, es decir, para los cuales podemos calcular y=f(x). se dice que el diminio de una funcion son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjuto llamado codominio.

Codominio: tambien llamado rango de la funion, imagen o recorrido, este conjunto son los valores que puede tomar la funcion; son todos los valores de las Y.

Una funcion consiste, entonces, en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relacion entre dos variables "X" y "Y" es una en la que para cada valor de Y hay exactamente un valor de X, se dice que Y es una funcion de X.

Rango: se denomina rango a un recorrido de una funcion al conjunto de los vares reales que toma la variable Y o f(x).

2.2.- F UNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA.

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan informacion sobre el comportamiento de una funcion.

Puedes entender una funcion como una manera de conectar elementosde un cojunto "A" a los e otro conjunto "B".

"Inyectivo"significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A".

"Sobreyectivo" signifia que cada elemento de"B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor mas de uno).

"Biyectivo" significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. asi que ay una correspondencia perfecta "uno a uno" etre los elementos de los conjutos.

Deficiones formales

Inyectivo: una funcin f es inyectiva si, cuando f(x)=f(y), x=Y.

Ejemplo: f(x)=x2 del conjunto de los numeros naturales a es una funcion inyectiva.

(Pero f(x)=x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros (esto incluye numeros negativos) porque tiene por ejemplo:

f(2)=4y

f(-2)=4

Soberyectivo (o tambien "epiyectivo"): una funcion f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectivba y en B, existe por lo menos uno x en A que cumple f(x)=y, en otras palabras f es sobreyectiva si y solo si f(A)=B.

Asi que cada elemento de la imagen corresponden con un elemento del dominion por lo menos.

Ejemplo: la funcion f(x)=2x del conjunto de los numeros naturales al de los numeros pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo f(x)=2x del conjunto de los numeros naturales a no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningun elemento de N va al 3 por esta funcion.

Biyectiva: una funcion f (del conjunto A a otro B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x)=y.

Alternativamente, f es biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo: la funcion f(x)=x2 del conjunto den los numeros reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los numeros reales porque podrias tener por ejemplo f(2)=4 y f(-2)=4)

2.3 FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Y SU REPRESENTACION GRAFICA.

Se llama función real de una variable real a cualquier aplicación f : D −→ R, D ⊂ R, que hacecorresponder a cada x ∈ D uno y s´olo un valor f(x) ∈ R. La función se suele representar por y = f(x)donde x se llama variable independiente e y se llama variable dependiente.Si f(x) = y, se suele decir que y es la imagen de x por la función f, o que x es un origen dey. La representación en el plano cartesiano de todos estos pares ordenados (x, y) se llama gráfica dela función f.

Para que una función quede bien definida es necesario determinar:

El conjunto inicial o dominio de la función
El codomino o imagen de la función
La regla por la cual a cada elemento de un conjunto dominio se le asigna un único elemento del conjunto imagen.

REPRESENTACIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL

Se llama gráfica de una función al conjunto de puntos en el plano que verifican la formula que define la función. La abscisa de los puntos corresponde a la variable independiente y la ordenada a la variable dependiente.

La grafica de una funcion esta formado por todos los puntos (x,f(x)), donde x pertenece el dominio de f.

Ejemplo de graficas de 8 funciones basicas:

2.4 FUNCIONES ALGEBRAICAS: FUNCION POLINOMIAL, RACIONAL E IRRACIONAL.

Cualquier función que satisfaga una ecuación polinómica en la cual todos los coeficientes son polinomios se llama función algebraica. Si hablamos en términos de terminología matemática, una función algebraica es una función f(x) X  Y que satisface la ecuación p (x, f (x)). Aquí p (x, y) es una ecuación polinómica con todos sus coeficientes como enteros y lo es en términos de X e Y. - See more at: http://www.mitecnologico.com/igestion/Main/FuncionesAlgebraicasFuncionPolinomialFuncionRacionalEFuncionIrracional#sthash.t4kfw9o2.dpuf
Funciones algebraicas

Si una funcion puede construirce operaciones algebraicas (como suma, resta, multiplicacion y sacar raices) se llama funcion algebraica.cualquier funcion racional es una funcion algebraica.

Cuando tacen funciones algebraicas, veran que sus gaficas adoptan diversas formas:

Funcion polinomial:

Definicion: a una funcion P se llama polinomio si:

p(x) =anxn+an-1xn-1+...+a2x2+a1x+a0

^{Donde n es un numero entero no negativo y los numeros a0, a1, a2...an son constantes que se conocen como coeficiente del polinomio. El dominio de cualquier polinomio es menos infinito a mas infinito.}

Funcion racional e irracional:

En matemáticas, una función racional de una variable es una función que puede ser expresada de la forma:
$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$

donde P y Q son polinomio y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definicio en todos los valores de x que no anulen el denominador. Obviamente esta definición puede extenderse a un número finito pero arbitrario de variables, usando polinomios de varias variables.

Una función irracional es una función en cuya expresión analítica la variable dependiente x aparece debajo del símbolo de raíz.

En este apartado consideraremos únicamente funciones irracionales del tipo

f(x)=g(x)−−−−√n

con g(x) una función racional.
Si el índice n de la raíz es impar, es posible calcular la imagen de cualquier número real, siempre y cuando la expresión g(x) sea un número real, es decir, Dom(f)=Dom(g).
Si el índice n de la raíz es par, para poder calcular imágenes necesitamos que g(x) sea positiva o cero, ya que las raíces pares de un número negativo no son números reales. Por tanto el dominio de f son las soluciones de la inecuación g(x)≥0. En otras palabras, Dom(f)={x∈R∣g(x)≥0}.

Estudiemos ahora el caso más simple de función irracional: la función raíz cuadrada

f(x)=x√.

Se trata de una función en que el índice de la raíz es 2. Por tanto, su dominio es el conjunto de sluciones de la inecuación x≥0. Así tenemos Dom(f)=[0,+∞) La imagen de la función raíz cuadrada es, como en el caso del dominio, el conjunto de los reales mayores o igual que cero, Im(f)=[0,+∞)

2.5 FUNCIONES TASCENDENTES: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y FUNCINES EXPONENCIALES.

En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Funcion es trigonometricas: son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.

Funcion de seno y coseno:La función seno se define a partir del concepto de seno, considerando que el ángulo siempre debe expresarse en radianes. Para representar dicha función, tan sólo deben trasladarse los valores del seno obtenidos a partir de la circunferencia unitaria a la gráfica de la función, tal como puede hacerse en esta aplicación desplazando el punto que representa el valor de x (es decir, el valor del ángulo α) a derecha e izquierda.

Funcion coseno: La función coseno se define a partir del concepto de coseno, considerando que el ángulo siempre debe expresarse en radianes. Para representar dicha función, tan sólo deben trasladarse los valores del coseno obtenidos a partir de la circunferencia unitaria a la gráfica de la función, tal como puede hacerse en esta aplicación desplazando el punto que representa el valor de x (es decir, el valor del ángulo α) a derecha e izquierda.

Funcion exponencial:

Se llama función exponencial de base a aquella cuya forma genérica es f (x) = a^x, siendo a un número positivo distinto de 1. Por su propia definición, toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales R.
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica por cuanto se cumple que:

2.6 FUNCION DEFINA POR MAS DE UNA REGLA DE CORRESPONDENCIA, FUNCION VALOR ABSOLUTO.

Función a trozos es el nombre de una función que puede ser definida con la ayuda de múltiples funciones de correspondencia.

Una función f(x)=x⟶y es una función llamada función a trozos, si puede ser definida con ayuda de diferentes funciones lineales.

La gráfica de esta función también es definida por trozos, dependiendo el numero de ecuaciones que se utilicen para definir la función.

La función es llama así porque para definir esta función cambia según el valor de la variable de entrada.

La función de valor absoluto se transforma en función a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.
Se forman intervalos con el resultado de las raíces
Después definimos la función a trozos, tomando en cuenta que los intervalos en donde la x es negativa se le cambia el signo de la función.
· Representamos la función.

EJEMPLO:

Veremos un ejemplo siguiendo los pasos antes citados.

F(x)=|x-3|

x-3 x=3

2.7 OPERACIONES CON FUNCIONES: CONDICION, MULTIPLICACION, COMPOCISION.

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g.

La suma de las dos funciones producirán una sola función como:

ejemplo:

Por ejemplo, considere las dos funciones siguientes,
g(x) = x2 + 2 y,
f(x) = 4x – 1

Las dos funciones se pueden sumar como (g + f) (x) = (x2 + 2) + (4x – 1) = x2 + 4x + 1

Multiplicación:

Sean f y g dos funciones de variable real definidas por un mismo intervalo. Se llama multiplicación o producto de una función de f y g, y se define por:

[f(x)] [g(x)]

ejemplo:

Tomemos como ejemplo la multiplicación de dos funciones,

g(x) = 3 √x y

, f(x) = √x

entonces, (g . f) (x) = (3 √x) . (√x)

Composición:

Dos funciones se juntan para producir un resultado, por ejemplo: f actué sobre 'x' para producir f(x) y luego g actué sobre f(x) o también llamada función composición que se representa g(f(x)).

La composición de dos funciones se denota como:

ejemplo,

g(x) = 2x + 3

f(x) = -x2 + 5

g(f(x)) = g(-x2 + 5)

= 2(-x2 + 5) + 3

= −2×2 + 10 + 3

= −2×2 + 13

2.8 FUNCION INVERSA, LOGARITMICA Y TRIGONOMETRICAS INVERSAS.

Función inversa:

Son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica

de la primera función corresponde un punto de la gráfica de la segunda, de tal

manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del

punto correspondiente de la otra y viceversa; es decir, a todo punto de la primera

curva corresponde, en la segunda, otro punto simétrico con respecto a la bisectriz

del ángulo XOY

Función logarítmica:

Es aquella que está afectada por un logaritmo; como: log10 x Puede decirse también que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial. y=a^x y y=loga x

Funciones trigonométricas inversas:

En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radian es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco,

y= sen x, y es igual al seno de x, la función inversa x= arc sen y, es el arco

cuyo seno vale y, o también x es el arcoseno de y.

2.9 FUNCIONES CON DOMINIO EN LOS NUMEROS NATURALES Y RECORRIDO EN LOS NUMEROS REALES: LAS SUCESIONES INFINITAS.

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.
En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales.
Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:

f(1),f(2),f(3),...f(n),...

Para obtener la forma de subíndice de una sucesión, hacemos a_n=f(n) para todo entero positivo n. Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su grafica en un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicos puntos de la grafica son

(1,a₁),(2,a₂),(3,a₃),...,(n,a_n),...,

Donde a_nes el n-ésimo término de la sucesión.

De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión a₁,a₂,a₃,...,a_nes igual a unasucesión b₁,b₂,b₃,...,b_nsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.

Otra notación para una sucesión con n-ésimo termino a_n es {a_n}; por ejemplo, la sucesión {2ⁿ} tiene como n-ésimo termino a_n= 2ⁿCon la notación de sucesiones, lo escribimos de esta manera: 2¹,2³,2³,...,2ⁿ,...

Por definición, la sucesión {2ⁿ} es la función f con f(n)=2ⁿPara todo entero positivo n.

2.10 FUNCION IMPLICITA.

En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x - y - 2 = 0

Derivada implícita

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas de derivación y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.